线性代数示例

$[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}]$

解题步骤 1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

解题步骤 2

大小为 $3$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $3 \times 3$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ 。

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解题步骤 3.1

代入 $[\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] - λ I_{3})$

解题步骤 3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{3}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.6

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.6.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.6.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.7.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.8.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} - 2 & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 + 0 & - 36 + 0 \\ 0 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.3.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 + 0 \\ 0 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

将 $- 36$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 + 0 & - 3 - λ & 0 + 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 - λ & 0 + 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 - λ & 0 \\ - 36 + 0 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

将 $- 36$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 - λ & 0 \\ - 36 & 0 + 0 & - 23 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} - 2 - λ & 0 & - 36 \\ 0 & - 3 - λ & 0 \\ - 36 & 0 & - 23 - λ \end{array}]$

解题步骤 5

Find the determinant.

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解题步骤 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - 36 \\ 0 & - 23 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & - 36 \\ 0 & - 23 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 0 & - 36 \\ 0 & - 23 - λ \end{array} | + (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 0 & - 36 \\ 0 & - 23 - λ \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$

解题步骤 5.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} - 2 - λ & 0 \\ - 36 & 0 \end{array} |$ 。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) | \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} | + 0$

解题步骤 5.4

计算 $| \begin{array}{c} - 2 - λ & - 36 \\ - 36 & - 23 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) ((- 2 - λ) (- 23 - λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

解题步骤 5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 - λ) (- 23 - λ)$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (- 2 (- 23 - λ) - λ (- 23 - λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (- 2 \cdot - 23 - 2 (- λ) - λ (- 23 - λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (- 2 \cdot - 23 - 2 (- λ) - λ \cdot - 23 - λ (- λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $- 23$ 。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 - 2 (- λ) - λ \cdot - 23 - λ (- λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ - λ \cdot - 23 - λ (- λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.3

将 $- 23$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ - λ (- λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ + 1 λ^{2} - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 2 λ + 23 λ + λ^{2} - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.2.2

将 $2 λ$ 和 $23 λ$ 相加。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 25 λ + λ^{2} - (- 36 \cdot - 36)) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.3

乘以 $- (- 36 \cdot - 36)$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.3.1

将 $- 36$ 乘以 $- 36$ 。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 25 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1296) + 0$

解题步骤 5.4.2.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1296$ 。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (46 + 25 λ + λ^{2} - 1296) + 0$

解题步骤 5.4.2.2

从 $46$ 中减去 $1296$ 。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (25 λ + λ^{2} - 1250) + 0$

解题步骤 5.4.2.3

将 $25 λ$ 和 $λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = 0 + (- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250) + 0$

解题步骤 5.5

化简行列式。

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解题步骤 5.5.1

合并 $0 + (- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250) + 0$ 中相反的项。

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解题步骤 5.5.1.1

将 $0$ 和 $(- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250)$ 相加。

$p (λ) = (- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250) + 0$

解题步骤 5.5.1.2

将 $(- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250)$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250)$

解题步骤 5.5.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 3 - λ) (λ^{2} + 25 λ - 1250)$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 3 (25 λ) - 3 \cdot - 1250 - λ \cdot λ^{2} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

解题步骤 5.5.3

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.1

将 $25$ 乘以 $- 3$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ - 3 \cdot - 1250 - λ \cdot λ^{2} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

解题步骤 5.5.3.2

将 $- 3$ 乘以 $- 1250$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ \cdot λ^{2} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

解题步骤 5.5.3.3

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.3.3.1

移动 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - (λ^{2} λ) - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

解题步骤 5.5.3.3.2

将 $λ^{2}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.5.3.3.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

解题步骤 5.5.3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{2 + 1} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

解题步骤 5.5.3.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - λ (25 λ) - λ \cdot - 1250$

解题步骤 5.5.3.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 1 \cdot 25 λ \cdot λ - λ \cdot - 1250$

解题步骤 5.5.3.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.5.3.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 1 \cdot 25 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 1250$

解题步骤 5.5.3.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 1 \cdot 25 λ^{2} - λ \cdot - 1250$

解题步骤 5.5.3.6

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 25 λ^{2} - λ \cdot - 1250$

解题步骤 5.5.3.7

将 $- 1250$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = - 3 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} - 25 λ^{2} + 1250 λ$

解题步骤 5.5.4

从 $- 3 λ^{2}$ 中减去 $25 λ^{2}$ 。

$p (λ) = - 28 λ^{2} - 75 λ + 3750 - λ^{3} + 1250 λ$

解题步骤 5.5.5

将 $- 75 λ$ 和 $1250 λ$ 相加。

$p (λ) = - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750 - λ^{3}$

解题步骤 5.5.6

移动 $3750$ 。

$p (λ) = - 28 λ^{2} + 1175 λ - λ^{3} + 3750$

解题步骤 5.5.7

移动 $1175 λ$ 。

$p (λ) = - 28 λ^{2} - λ^{3} + 1175 λ + 3750$

解题步骤 5.5.8

将 $- 28 λ^{2}$ 和 $- λ^{3}$ 重新排序。

$p (λ) = - λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750$

解题步骤 6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750 = 0$

解题步骤 7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 7.1.1

使用有理根检验法因式分解 $- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 3750, \pm 2, \pm 1875, \pm 3, \pm 1250, \pm 5, \pm 750, \pm 6, \pm 625, \pm 10, \pm 375, \pm 15, \pm 250, \pm 25, \pm 150, \pm 30, \pm 125, \pm 50, \pm 75$

$q = \pm 1$

解题步骤 7.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 3750, \pm 2, \pm 1875, \pm 3, \pm 1250, \pm 5, \pm 750, \pm 6, \pm 625, \pm 10, \pm 375, \pm 15, \pm 250, \pm 25, \pm 150, \pm 30, \pm 125, \pm 50, \pm 75$

解题步骤 7.1.1.3

代入 $- 3$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 3$ 是多项式的根。

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解题步骤 7.1.1.3.1

将 $- 3$ 代入多项式。

$- {(- 3)}^{3} - 28 {(- 3)}^{2} + 1175 \cdot - 3 + 3750$

解题步骤 7.1.1.3.2

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- - 27 - 28 {(- 3)}^{2} + 1175 \cdot - 3 + 3750$

解题步骤 7.1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 27$ 。

$27 - 28 {(- 3)}^{2} + 1175 \cdot - 3 + 3750$

解题步骤 7.1.1.3.4

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$27 - 28 \cdot 9 + 1175 \cdot - 3 + 3750$

解题步骤 7.1.1.3.5

将 $- 28$ 乘以 $9$ 。

$27 - 252 + 1175 \cdot - 3 + 3750$

解题步骤 7.1.1.3.6

从 $27$ 中减去 $252$ 。

$- 225 + 1175 \cdot - 3 + 3750$

解题步骤 7.1.1.3.7

将 $1175$ 乘以 $- 3$ 。

$- 225 - 3525 + 3750$

解题步骤 7.1.1.3.8

从 $- 225$ 中减去 $3525$ 。

$- 3750 + 3750$

解题步骤 7.1.1.3.9

将 $- 3750$ 和 $3750$ 相加。

$0$

解题步骤 7.1.1.4

因为 $- 3$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $λ + 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750}{λ + 3}$

解题步骤 7.1.1.5

用 $- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750$ 除以 $λ + 3$ 。

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解题步骤 7.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$λ$

$3$

$λ^{3}$

$28 λ^{2}$

$1175 λ$

$3750$

解题步骤 7.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $- λ^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

				-	$λ^{2}$
	$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$

解题步骤 7.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			-	$λ^{3}$	-	$3 λ^{2}$

解题步骤 7.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- λ^{3} - 3 λ^{2}$ 中的所有符号

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$

解题步骤 7.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$

解题步骤 7.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$λ^{2}$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$

解题步骤 7.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 25 λ^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$

解题步骤 7.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					-	$25 λ^{2}$	-	$75 λ$

解题步骤 7.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 25 λ^{2} - 75 λ$ 中的所有符号

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$

解题步骤 7.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$

解题步骤 7.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$

解题步骤 7.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $1250 λ$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$	+	$1250$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$

解题步骤 7.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$	+	$1250$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$
							+	$1250 λ$	+	$3750$

解题步骤 7.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $1250 λ + 3750$ 中的所有符号

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$	+	$1250$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$
							-	$1250 λ$	-	$3750$

解题步骤 7.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$λ^{2}$	-	$25 λ$	+	$1250$
$λ$	+	$3$	-	$λ^{3}$	-	$28 λ^{2}$	+	$1175 λ$	+	$3750$
			+	$λ^{3}$	+	$3 λ^{2}$
					-	$25 λ^{2}$	+	$1175 λ$
					+	$25 λ^{2}$	+	$75 λ$
							+	$1250 λ$	+	$3750$
							-	$1250 λ$	-	$3750$
										$0$

解题步骤 7.1.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- λ^{2} - 25 λ + 1250$

解题步骤 7.1.1.6

将 $- λ^{3} - 28 λ^{2} + 1175 λ + 3750$ 书写为因数的集合。

$(λ + 3) (- λ^{2} - 25 λ + 1250) = 0$

解题步骤 7.1.2

分组因式分解。

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解题步骤 7.1.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 7.1.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 1250 = - 1250$ 并且它们的和为 $b = - 25$ 。

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解题步骤 7.1.2.1.1.1

从 $- 25 λ$ 中分解出因数 $- 25$ 。

$(λ + 3) (- λ^{2} - 25 λ + 1250) = 0$

解题步骤 7.1.2.1.1.2

把 $- 25$ 重写为 $25$ 加 $- 50$

$(λ + 3) (- λ^{2} + (25 - 50) λ + 1250) = 0$

解题步骤 7.1.2.1.1.3

运用分配律。

$(λ + 3) (- λ^{2} + 25 λ - 50 λ + 1250) = 0$

解题步骤 7.1.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 7.1.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(λ + 3) ((- λ^{2} + 25 λ) - 50 λ + 1250) = 0$

解题步骤 7.1.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(λ + 3) (λ (- λ + 25) + 50 (- λ + 25)) = 0$

解题步骤 7.1.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $- λ + 25$ 来因式分解多项式。

$(λ + 3) ((- λ + 25) (λ + 50)) = 0$

解题步骤 7.1.2.2

去掉多余的括号。

$(λ + 3) (- λ + 25) (λ + 50) = 0$

解题步骤 7.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$λ + 3 = 0$

$- λ + 25 = 0$

$λ + 50 = 0$

解题步骤 7.3

将 $λ + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.3.1

将 $λ + 3$ 设为等于 $0$ 。

$λ + 3 = 0$

解题步骤 7.3.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$λ = - 3$

解题步骤 7.4

将 $- λ + 25$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.4.1

将 $- λ + 25$ 设为等于 $0$ 。

$- λ + 25 = 0$

解题步骤 7.4.2

求解 $λ$ 的 $- λ + 25 = 0$ 。

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解题步骤 7.4.2.1

从等式两边同时减去 $25$ 。

$- λ = - 25$

解题步骤 7.4.2.2

将 $- λ = - 25$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 7.4.2.2.1

将 $- λ = - 25$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 7.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.4.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{λ}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 7.4.2.2.2.2

用 $λ$ 除以 $1$ 。

$λ = \frac{- 25}{- 1}$

解题步骤 7.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.4.2.2.3.1

用 $- 25$ 除以 $- 1$ 。

$λ = 25$

解题步骤 7.5

将 $λ + 50$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.5.1

将 $λ + 50$ 设为等于 $0$ 。

$λ + 50 = 0$

解题步骤 7.5.2

从等式两边同时减去 $50$ 。

$λ = - 50$

解题步骤 7.6

最终解为使 $(λ + 3) (- λ + 25) (λ + 50) = 0$ 成立的所有值。

$λ = - 3, 25, - 50$

线性代数 示例

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